Seção de Problemas

 

Aproveitando o retorno do blog, aqui irei propor alguns problemas. Essa seção de problemas interessantes vai ser semanal, toda quarta ou quinta a partir de semana que vem, e a cada semana postaremos os gabaritos comentados da semana anterior. Caso alguém queira mandar sua resolução, comente nesta postagem ou envie para joaopedroblogger@hotmail.com sua resolução. Ao todo, teremos entre cinco e dez problemas nas seções.

Enunciados:

Teoria dos Números:

1 - Prove que é um primo somente se é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat)

2 - Prove que é um primo somente se é primo (quando isso acontece, temos um primo de Mersenne)

Álgebra:

3 - Sejam tais que . Prove que:

a)

b)

4 - Se e

Ache os possíveis valores de

5 - Prove que é irracional.

Geometria:

6 - Prove que uma estrela como na figura não pode ser desenhada atendendo simultaneamente a

7 - Seja um quadrilátero inscritível em uma circunferência de centro tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal divide o quadrilátero em duas partes de mesma área.

8 - Seja um quadrilátero inscritível. Suponha que tracemos uma semicircunferência com centro em tal que os outros três lados sejam tangentes a esta.

a) Prove que

b) Determine, em função de e , a área máxima de um quadrilátero desse tipo.

Combinatória:

9 - Quantos quadrados podemos formar com pontos numa malha ?

Fontes:

Questões 1 e 2: Livro Intro Abstract Algebra.

Questões 3,4 e 5: Revista Eureka!, número 33

Questão 6: Livro Círculos Matemáticos.

Questões 7, 8 e 9: Apostilas do Polo Olímpico de Treinamento para a OBM, 2012.