Sequências e Progressões – Parte 2

Galera! E aí, viram o post sobre P.A.? Gostaram? Peço encarecidamente que avaliem os post ao seu fim, pois assim saberei melhor como vai a qualidade do blog. Dado o aviso, continuemos.

Nosso assunto de hoje são as progressões geométricas, ou, como vulgarmente conhecidas, P.G.’s.

Definição 1: Uma progressão geométrica é uma sequência na qual a_{n =} qa_n-1, onde a_n e a_n-1 são termos da sequência e q é denominada a razão da P.G.

Portanto, uma P.G. é uma sequência na qual o crescimento dos termos é exponencial:

Proposição 1: O termo geral de uma P.G. pode ser escrito como

Demonstração: Podemos, indutivamente, provar que

Para n=2, é trivial

Agora, suponhamos . Pela definição,

Que completa a demonstração.

Assim, temos alguns problemas que já podemos fazer sobre P.G.’s:

Problema 1: Calcule x, em radianos, sabendo que formam uma P.G.

Resolução:

A P.G. em questão é, portanto, , e .

Problema 2: Mostre que é uma P.G.

Resolução:

, E, de modo geral, e

Logo, eles formam uma P.G. de razão .

podemos, agora, partir para nossa próxima

Proposição 2: a soma dos n primeiros termos de uma P.G. é

Demonstração: façamos

Multiplicando por :

Resolvendo em função de

Como queríamos demonstrar

Corolário 1: Quando ,

Demonstração: Só temos que aplicar

Mas, como , quando este número é elevado a uma potência muito grande, este tende a zero. Portanto,

Como desejado

Portanto, terminados os teoremas, vamos à parte prática das coisas:

Problema 3: Calcule

 

Resolução:

Multipliquemos por :

Problema 4: (IMO-1962) Resolva

 

Resolução: Ao ver que se trata de uma expressão trigonométrica, podemos pensar: como podemos associar a essa expressão uma P.G.? Resposta: Números complexos!

Primeiro, efetuemos

Portanto, a equação se transforma em

Utilizando

Agora que entra a P.G.!

Mas, pela propriedade de complexos,

E

Então

Como queremos a parte real da expressão acima, temos que ter

Logo, temos de resolver

Mas, por Prostaférese (para você que não entendeu muito dessa solução, não se desespere! Vamos postar algo sobre Prostaférese e essas transformações “complexas”),

Logo,

Utilizando Prostaférese novamente,

Então, temos de resolver

E

Problema 5: Achar

Onde o último número tem n dígitos.

Resolução: Transformemos

Então

Problema 6: Ache uma fórmula fechada para

(deixado como exercício)

E aqui termina mais um post. Como prometi ao postar sobre P.A.’s, veio cedo. E, caso tenham soluções para o Problema 6, podem enviar como comentário ou, ainda, mandar para joaopedroblogger@hotmail.com , meu e-mail.